Η περιστροφή των σωμάτων είναι ένας από τους σημαντικούς τύπους μηχανικής κίνησης στην τεχνολογία και τη φύση. Σε αντίθεση με τη γραμμική κίνηση, περιγράφεται από το δικό της σύνολο κινηματικών χαρακτηριστικών. Ένα από αυτά είναι η γωνιακή επιτάχυνση. Χαρακτηρίζουμε αυτήν την τιμή στο άρθρο.
Κίνηση περιστροφής
Πριν μιλήσουμε για τη γωνιακή επιτάχυνση, ας περιγράψουμε τον τύπο κίνησης στον οποίο εφαρμόζεται. Μιλάμε για περιστροφή, που είναι η κίνηση των σωμάτων κατά μήκος κυκλικών μονοπατιών. Για να συμβεί περιστροφή, πρέπει να πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις:
- παρουσία άξονα ή σημείου περιστροφής;
- η παρουσία μιας κεντρομόλου δύναμης που θα κρατούσε το σώμα σε κυκλική τροχιά.
Παραδείγματα αυτού του τύπου κίνησης είναι διάφορα αξιοθέατα, όπως ένα καρουζέλ. Στη μηχανική, η περιστροφή εκδηλώνεται με την κίνηση των τροχών και των αξόνων. Στη φύση, το πιο εντυπωσιακό παράδειγμα αυτού του τύπου κίνησης είναι η περιστροφή των πλανητών γύρω από τον άξονά τους και γύρω από τον Ήλιο. Ο ρόλος της κεντρομόλου δύναμης σε αυτά τα παραδείγματα παίζεται από τις δυνάμεις της διατομικής αλληλεπίδρασης στα στερεά και τη βαρυτικήαλληλεπίδραση.
Κινηματικά χαρακτηριστικά περιστροφής
Αυτά τα χαρακτηριστικά περιλαμβάνουν τρεις ποσότητες: γωνιακή επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα και γωνία περιστροφής. Θα τα συμβολίσουμε με τα ελληνικά σύμβολα α, ω και θ, αντίστοιχα.
Δεδομένου ότι το σώμα κινείται σε κύκλο, είναι βολικό να υπολογίσουμε τη γωνία θ, την οποία θα στρίψει σε συγκεκριμένο χρόνο. Αυτή η γωνία εκφράζεται σε ακτίνια (σπάνια σε μοίρες). Εφόσον ο κύκλος έχει 2 × pi ακτίνια, μπορούμε να γράψουμε μια εξίσωση που να σχετίζεται με το θ με το μήκος του τόξου L της στροφής:
L=θ × r
Όπου r είναι η ακτίνα περιστροφής. Αυτός ο τύπος είναι εύκολο να ληφθεί εάν θυμάστε την αντίστοιχη έκφραση για την περιφέρεια.
Η γωνιακή ταχύτητα ω, όπως και η γραμμική αντίστοιχή της, περιγράφει την ταχύτητα περιστροφής γύρω από τον άξονα, δηλαδή προσδιορίζεται σύμφωνα με την ακόλουθη έκφραση:
ω¯=d θ / d t
Η ποσότητα ω¯ είναι διανυσματική τιμή. Κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής. Η μονάδα του είναι ακτίνια ανά δευτερόλεπτο (rad/s).
Τέλος, η γωνιακή επιτάχυνση είναι ένα φυσικό χαρακτηριστικό που καθορίζει τον ρυθμό μεταβολής της τιμής του ω¯, ο οποίος γράφεται μαθηματικά ως εξής:
α¯=d ω¯/ d t
Το διάνυσμα α¯ κατευθύνεται προς την αλλαγή του διανύσματος ταχύτητας ω¯. Περαιτέρω θα ειπωθεί ότι η γωνιακή επιτάχυνση κατευθύνεται προς το διάνυσμα της ροπής της δύναμης. Αυτή η τιμή μετριέται σε ακτίνια.τετραγωνικό δευτερόλεπτο (rad/s2).
Ροπή δύναμης και επιτάχυνσης
Αν θυμηθούμε τον νόμο του Νεύτωνα, ο οποίος συνδέει τη δύναμη και τη γραμμική επιτάχυνση σε μια ενιαία ισότητα, τότε, μεταφέροντας αυτόν τον νόμο στην περίπτωση της περιστροφής, μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη έκφραση:
M¯=I × α¯
Εδώ M¯ είναι η ροπή της δύναμης, η οποία είναι το γινόμενο της δύναμης που τείνει να περιστρέφει το σύστημα επί το μοχλό - την απόσταση από το σημείο εφαρμογής της δύναμης στον άξονα. Η τιμή I είναι ανάλογη με τη μάζα του σώματος και ονομάζεται ροπή αδράνειας. Ο γραπτός τύπος ονομάζεται εξίσωση των ροπών. Από αυτό, η γωνιακή επιτάχυνση μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:
α¯=M¯/ I
Δεδομένου ότι το I είναι βαθμωτός, το α¯ κατευθύνεται πάντα προς την ενεργή στιγμή της δύναμης M¯. Η κατεύθυνση του M¯ καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού ή τον κανόνα του gimlet. Τα διανύσματα M¯ και α¯ είναι κάθετα στο επίπεδο περιστροφής. Όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας του σώματος, τόσο μικρότερη είναι η τιμή της γωνιακής επιτάχυνσης που μπορεί να προσδώσει στο σύστημα η σταθερή ροπή M¯.
Κινηματικές εξισώσεις
Για να κατανοήσουμε τον σημαντικό ρόλο που παίζει η γωνιακή επιτάχυνση στην περιγραφή της κίνησης της περιστροφής, ας γράψουμε τους τύπους που συνδέουν τα κινηματικά μεγέθη που μελετήθηκαν παραπάνω.
Σε περίπτωση ομοιόμορφα επιταχυνόμενης περιστροφής, ισχύουν οι ακόλουθες μαθηματικές σχέσεις:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
Ο πρώτος τύπος δείχνει ότι το γωνιακόη ταχύτητα θα αυξηθεί στο χρόνο σύμφωνα με έναν γραμμικό νόμο. Η δεύτερη έκφραση σάς επιτρέπει να υπολογίσετε τη γωνία με την οποία το σώμα θα στραφεί σε ένα γνωστό χρόνο t. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης θ(t) είναι παραβολή. Και στις δύο περιπτώσεις, η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή.
Αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο σχέσης μεταξύ L και θ που δίνεται στην αρχή του άρθρου, μπορούμε να πάρουμε μια έκφραση για το α ως προς τη γραμμική επιτάχυνση a:
α=a / r
Αν το α είναι σταθερό, τότε όσο αυξάνεται η απόσταση από τον άξονα περιστροφής r, η γραμμική επιτάχυνση a θα αυξάνεται αναλογικά. Γι' αυτό χρησιμοποιούνται γωνιακά χαρακτηριστικά για περιστροφή, σε αντίθεση με τα γραμμικά, δεν αλλάζουν με την αύξηση ή τη μείωση του r.
Παράδειγμα προβλήματος
Ο μεταλλικός άξονας, περιστρεφόμενος με συχνότητα 2.000 στροφών ανά δευτερόλεπτο, άρχισε να επιβραδύνεται και σταμάτησε εντελώς μετά από 1 λεπτό. Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί με ποια γωνιακή επιτάχυνση έγινε η διαδικασία επιβράδυνσης του άξονα. Θα πρέπει επίσης να υπολογίσετε τον αριθμό των στροφών που έκανε ο άξονας πριν σταματήσει.
Η διαδικασία της επιβράδυνσης περιστροφής περιγράφεται από την ακόλουθη έκφραση:
ω=ω0- α × t
Η αρχική γωνιακή ταχύτητα ω0 καθορίζεται από τη συχνότητα περιστροφής f ως εξής:
ω0=2 × pi × f
Αφού γνωρίζουμε τον χρόνο επιβράδυνσης, τότε παίρνουμε την τιμή επιτάχυνσης α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Αυτός ο αριθμός πρέπει να λαμβάνεται με το σύμβολο μείον,γιατί μιλάμε για επιβράδυνση του συστήματος, όχι για επιτάχυνση.
Για να προσδιορίσετε τον αριθμό των περιστροφών που θα κάνει ο άξονας κατά το φρενάρισμα, εφαρμόστε την έκφραση:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376.806 rad.
Η λαμβανόμενη τιμή της γωνίας περιστροφής θ σε ακτίνια μετατρέπεται απλώς στον αριθμό των στροφών που πραγματοποιεί ο άξονας πριν σταματήσει τελείως χρησιμοποιώντας μια απλή διαίρεση με 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60.001 στροφές.
Έτσι, πήραμε όλες τις απαντήσεις στις ερωτήσεις του προβλήματος: α=-209, 33 rad/s2, n=60.001 περιστροφές.
